I numeri trascendenti

I numeri trascendenti

I numeri reali possono essere rappresentati mediante allineamenti di cifre decimali con una parte intera [che precede la virgola] e una parte frazionaria [che segue la virgola].

I numeri reali a cui corrisponde un numero decimale illimitato non periodico sono detti irrazionali. In generale sono irrazionali tutti i numeri del tipo, (a)^1/2 con a non quadrato di un numero razionale.

Un celebre numero irrazionale è (2)^1/2   che esprime il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato. Il numero irrazionale più famoso è probabilmente π, rapporto tra la lunghezza della circonferenza e il diametro della stessa, seguito da "e", il numero di Nepero. Questi ultimi due numeri irrazionali hanno una particolare caratteristica che li distingue concettualmente da (2)^1/2  .

Un numero reale si dice algebrico se esso è soluzione di un'equazione polinomiale a coefficienti interi. Se un numero reale non è algebrico, si dice trascendente.

Tutti i numeri razionali sono algebrici; per esempio -5 è la soluzione dell'equazione x+5=0, 3/2, invece, risolve l'equazione 2x−3=0. Anche i numeri irrazionali provenienti da radici n-esime sono algebrici; per esempio   (2)^1/2  è una soluzione dell'equazione x²−2=0. Non tutti i numeri irrazionali però sono algebrici: nel 1873 Charles Hermite mostrò che il numero e è trascendente e poco più tardi, nel 1882, Ferdinand Lindemann dimostrò che π è trascendente.

Ancora prima delle dimostrazioni di Hermite e Lindemann, Cantor [1845-1918] era riuscito a dimostrare l'esistenza di numeri trascendenti, sulla base del fatto che l'insieme dei numeri algebrici è numerabile, ossia può essere messo in corrispondenza biunivoca con l'insieme N. Poiché l'insieme R invece non è numerabile, devono esistere dei numeri reali che non sono algebrici, ossia dei numeri reali trascendenti, È possibile dimostrare addirittura che i numeri trascendenti sono molti «di più» dei numeri algebrici, nel senso che formano un insieme non numerabile.

La dimostrazione della trascendenza di particolari numeri, come (22)^1/2 , costituiva uno dei 23 problemi irrisolti proposti nel 1900 da David Hilbert [1862-1943], in una famosa conferenza tenuta al congresso internazionale dei matematici. I matematici Siegel e Gelfond riuscirono a dimostrare che ogni numero della forma ab, dove a è un numero algebrico diverso da 0 e da 1 e b è un numero algebrico irrazionale, è trascendente. Le funzioni f(x)=sinx, f(x)=cosx, f(x)=ex assumono valori trascendenti in corrispondenza di valori algebrici di x [eccetto che per valori ovvi, come x = 0]. Proprio per questo motivo queste funzioni vengono dette trascendenti, mentre le funzioni razionali [intere o frazionarie] vengono dette algebriche perché, al contrario di quelle trascendenti, assumono valori algebrici in corrispondenza di valori algebrici di x.

I due numeri trascendenti più «importanti» π ed e, traggono entrambi origine da procedimenti che sottendono il concetto di limite. Il numero π nasce infatti dal processo di approssimazione della lunghezza della circonferenza tramite poligoni regolari inscritti e circoscritti, e è il limite della successione (1+1n)n.

I numeri trascendenti, come disse Eulero, «trascendono il potere del metodi algebrici» e ci aprono le porte sull'affascinante problema dell'infinito.